Uragani e Fibonacci

Nell'immagine che vedete sotto è stato immortalato un istante dell'azione devastatrice dell'uragano Irene che lo scorso anno ha colpito le coste orientali degli Stati Uniti. La spirale logaritmica coincide perfettamente coi contorni della tempesta.

Un'altra dimostrazione che il libro della natura è scritto in linguaggio matematico.

Immagine trovata su Natura matematica.

Matematica e mondo reale (Fibonacci 3)

Straordinario video sulla Successione di Fibonacci e su come la natura parli in linguaggio matematico. L'argomento è stato trattato anche su questo blog, qui e qui.

In questo sito trovate un'interessante animazione sulla relazione tra la spirale logaritmica e i numeri di Fibonacci.

Via Pigreco Quadro

Matematica e mondo reale (Fibonacci 2)

Se esaminiamo la successione di Fibonacci di un precedente post:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ….

Notiamo che il rapporto tra un numero della successione e il successivo tende ad assumere il valore costante di 0,618…

Infatti:
1/1 = 1; 1/2 = 0,5; 2/3 = 0,666… ; 3/5 = 0,600; 5/8 = 0,625; 8/13 = 0,615…; 13/21 = 0,619… ; 21/34 = 0,618… ; 34/55 = 0,618…; 55/89 = 0.618…; 89/144 = 0,618…; 144/233 = 0,618….

Questo rapporto, chiamato sezione aurea, ricorre in molti fenomeni naturali, come vedremo più avanti in questo post. Inoltre, il rettangolo in cui il rapporto tra le sue dimensioni è 0,618…, a detta dei psicologi, è il più bello, il più armonico tra tutti gli infiniti rettangoli che si possono disegnare. Questo particolare rettangolo, inoltre, possiede una sorprendente proprietà. Infatti, se lo dividiamo in due parti in modo che una di esse sia un quadrato, l’altra parte sarà un altro rettangolo avente anch’esso il rapporto fra le dimensioni uguale a 0.618, che se dividiamo a sua volta in un quadrato e in un rettangolo, presenta le stesse caratteristiche e così via all’infinito.

Ma le sorprese non finiscono qui. Se noi tracciamo una linea continua nei quadrati come nella figura sopra, otteniamo una curva detta spirale logaritmica, ed è seguendo questa linea curva che i molluschi costruiscono la loro conchiglia.

La bellezza e l’armonia di questo rettangolo ha affascinato pittori e scultori del passato, al punto che in molte opere d’arte essi lo hanno voluto mettere in evidenza. La sezione aurea è presente nel Partenone di Atene, nel Palazzo dell’Onu a New York, nel Palazzo Ducale di Venezia, tanto per fare solo alcuni esempi.

La sezione aurea la possiamo trovare anche nel corpo degli animali, uomo compreso. Il rapporto tra la distanza dal gomito al polso e la distanza dalla spalla al polso vale 0,618, che è lo stesso rapporto esestente tra la lunghezza della falangina e quella della falange. Lo stesso valore lo troviamo nel rapporto tra la distanza tra l’ombelico ai piedi e la distanza dalla testa ai piedi.

La sezione aurea è presente in molte pitture artistiche e anche in campo musicale.

Molti pensano che la matematica sia qualcosa di astratto e completamente avulso dalla realtà. La sezione aurea – che Keplero considerava uno dei due gioielli della geometria (l’altro era il teorema di Pitagora) - non è un’invenzione dell’uomo, ma una delle espressioni matematiche della bellezza e dell’armonia della natura.

Matematica e conigli (Fibonacci 1)

Due anni fa mi trovavo a Torino durante le vacanze di Natale. In quel periodo, sulla mole Antonelliana, di sera, si accendeva una creazione dell’architetto Mario Merz dal nome “Il volo dei numeri”.

Era una striscia luminosa che scendeva dalla cupola e nella quale era visibile una successione di numeri:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …….

E' la cosiddetta serie o successione di Fibonacci.
Il problema da cui partì Leonardo Pisano, detto Fibonacci (anno 1202) era il seguente: come può svilupparsi in condizioni ideali una famiglia di conigli? Supponiamo di avere una coppia di conigli (maschio e femmina). I conigli sono in grado di riprodursi già all'età di un mese, per cui alla fine del suo secondo mese una femmina può produrre un'altra coppia di conigli. Supponiamo che i nostri conigili non muoiano mai e che la femmina produca sempre una nuova coppia (un maschio ed una femmina) ogni mese dal secondo mese in poi. Il problema posto da Fibonacci fu: quante coppie ci saranno dopo un anno? Alla fine del primo mese ci sarà ancora 1 sola coppia. Alla fine del secondo mese la femmina produce una nuova coppia, per cui ora ci sono 2 coppie di conigli. Alla fine del terzo mese la femmina iniziale produce una seconda coppia, dando luogo a 3 coppie in tutto. Alla fine del quarto mese la femmina originale ha prodotto una nuova coppia e la femmina nata due mesi dopo produce la sua prima coppia. Abbiamo così 5 coppie. Il numero delle coppie di conigli all'inizio di ciascun mese sarà 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…….

Fibonacci scopri l’algoritmo della serie numerica, (si tratta della prima progressione logica della matematica!). Infatti ogni nuovo numero (a partire dal terzo) è la somma dei due che lo precedono. Facciamo alcuni esempi: 13 = 8 + 5; 55 = 21 + 34 e via dicendo.
Ma la cosa che più affascina consiste nel fatto che questa successione si riscontra in molti fenomeni naturali. (La creazione dell’architetto Merz voleva appunto rappresentare la relazione tra le leggi della natura e quelle dell’uomo).
La successione di Fibonacci descrive in modo sorprendente e affascinante tanti aspetti del mondo botanico e non solo. Nella figura seguente il numero dei petali di un fiore costituisce spesso un numero di Fibonacci.

E ancora: molte piante crescono in modo che dal primo ramo se ne sviluppano altri secondo la successione di Fibonacci.

Altri numeri di Fibonacci si riscontrano nelle spirali che rappresentano la disposizione delle scaglie in una pigna, o in quelle dei semi di girasole.
Un'altra proprietà è quella che qualsiasi numero della serie elevato al quadrato è uguale al prodotto tra il numero che lo precede e quello che la segue aumentato o diminuito di una unità. Esempio: 21 elevato al quadrato è uguale a 441 e 441 = 13x34 - 1. 89 al quadrato = 55x144 +1.

Nella serie di Fibonacci sono nascoste altre "magie" che costituiranno l'argomento di un prossimo post.